Filtrage des signaux aléatoires

Soit un signal aléatoire qu'on filtre par un filtre linéaire invariant au cours du temps de réponse impulsionnelle et de réponse en fréquence . On connait la fonction d'autocorrélation et la densité spectrale de , soient et . On cherche à trouver la densité spectrale et la fonction d'autocorrélation de signal de sortie du filtre. La sortie du filtre est
(249)

La fonction d'autocorrélation de est
(250)

En éludant le problème de la commutation des calculs de moyennes et de sommations
(251)


(252)

On pose
(253)

et ,
(254)

On remarque que ne dépend que de , ce qui implique la stationnarité de . La stationnarité implique que l'autocorrélation et la densité spectrale existent. On remarquera aussi que est un double calcul de convolution
(255)

ou encore
(256)

SI
(257)

qu'on écrira
(258)

où on a posé
(259)

Nous appellerons la transformée de Fourier de . La transformée d'une convolution étant un produit
(260)

Dans le domaine des fréquences, on calcule la transformée de Fourier
(261)

en posant ,
(262)

C'est la transformée de Fourier d'une convolution qui s'écrit donc
(263)

En remplaçant par sa valeur (260)
(264)


(265)

La densité spectrale de la sortie du filtre est égale à la densité spectrale de l'entrée multipliée par le carré du module de la réponse en fréquence du filtre. Ce résultat est fondamental pour un bon nombre d'applications. Il est tout à fait cohérent avec le résultat sur le filtrage des signaux déterministes pour lesquels on a
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