Dans la suite nous supposerons que le pas d'échantillonnage 
est égal à un.
La ``transformée en 
bilatérale 
d'un signal
échantillonné 
est
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(76) |
où est une variable complexe.
C'est la somme d'une série temporelle qui n'est définie que pour
certaines valeurs de . Elle ne sera en général définie que pour
les valeurs de à l'intérieur d'un domaine où la série
(76) converge, en général d'une couronne de
rayon intérieur 
et de rayon extérieur 
.
Figure 27:
Exemple de fonction simple pour un calcul de transformée en par calcul de série géométrique
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Exemple : Soit le signal représenté sur la figure
27
où 
et 
sont deux nombres complexes de module inférieur à
un. s'obtient par sommation de deux séries géométriques et
vaut
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(78) |
Elle n'est définie que si ces séries convergent. La première série
converge si 
. La seconde série ne converge que si
. La couronne de convergence dans le plan complexe est
comprise entre les cercles de rayon 
et 
.
Figure 28:
Domaine de convergence de : c'est la couronne comprise entre les cercles
de rayon et 
; dans la plupart des applications en traitement du signal, ce domaine
contient le cercle de rayon 1
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(79) |
La plupart du temps, les expressions des transformées en
utilisées en traitement du signal sont des fractions rationnelles
de la variable . On appelle `` pôles'' les racines du
dénominateur de la transformée et `` zéros'' les racines de
son numérateur. Dans de nombreux calculs, les pôles sont simples.
Il est alors possible d'écrire les transformées sous la forme
d'une décomposition en éléments simples de cette fraction
rationnelle. La transformée s'écrit alors sous la forme d'une
somme de fractions dont le dénominateur est de degré un dans le
cas des fonctions à coefficients complexes et de degré deux dans
le cas des fonction à coefficients réels. Ce qui permet de
retrouver la plupart des transformées simples.
L'exemple le plus courant de transformée utilisée en traitement
du signal est la transformée de la fonction nulle pour 
et valant
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(80) |
pour 
, étant un réel positif inférieur à un.
Figure 29:
Une fonction couramment utilisées en traitement du signal, la sinusoïde amortie
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Dans ce
cas, est définie à l'extérieur du disque de rayon et
vaut
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(81) |
Remarques : La plupart du temps le domaine de convergence de la
transformée en est une couronne qui contient le cercle de
rayon un, les fonctions étudiées tendant souvent vers zéro comme
une fonction exponentielle lorsque
.
Le choix de la variable 
et non ,
est cohérent avec la définition de la transformée de Fourier. Cet
opérateur représente le retard d'un échantillon. Il incite souvent
à écrire les transformées des signaux causaux (nuls pour les valeurs négatives de 
)
en fonction de et non de . Lorsque le signal est non
causal (lorsqu'il a des composantes pour , on écrit souvent
ces composantes en fonction de la variable . Cependant, la
notion ce causalité est contenue dans le domaine de convergence
et non dans la formule donnant la transformée en qui peut
s'écrire aussi bien en fonction de la variable que de la
variable .
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