Soit le signal échantillonné 
nul en dehors de
l'intervalle 
et
sa transformée de
Fourier. On rend ce signal périodique en le reproduisant après
translation de 
, 
, 
, etc...
Pour tout 
pour tout
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(171) |
La transformée de Fourier
de 
est nulle sauf
aux fréquences multiples de 
. Comme c'est la transformée
de Fourier d'un signal échantillonné, elle est aussi périodique
de période 
si on prend le pas d'échantillonnage égal à un.
La connaissance de
aux fréquences multiples de
suffit donc pour caractériser le signal périodisé et donc
le signal original .
Figure 51:
Illustration de l'aspect périodique et échantillonné des signaux et de leurs transformées
de Fourier discrètes. Sur la première ligne le signal est échantillonné dans le domaine temporel, sa transformée
de Fourier est périodique. Sur la deuxième ligne, le signal temporel est périodique, sa transformée de Fourier
est composées uniquement d'harmoniques, elle est donc échantillonnée. Sur la troisième ligne, le signal temporel
est échantillonné, sa transformée est périodique et comme la transformée est échantillonnée car c'est une transformée
de Fourier discrète, le signal temporel est lui aussi périodique: il y a échantillonnage et périodicité
à la fois dans le domaine temporel et dans le domaine des fréquences
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La formule donnant
pour les valeurs de
est ainsi
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(172) |
La notation
est commode pour établir un
lien avec la transformée en 
. Nous la remplacerons par la
notation moins lourde
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(173) |
C'est le produit d'une matrice par un vecteur qui transforme le vecteur en un
vecteur 
de même dimension.
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