Pour savoir si un filtre récursif est stable ou non, il faut
compter le nombre de racines de son dénominateur 
à l'extérieur du
cercle de rayon un. Nous présentons ici un algorithme classique
qui permet de savoir si ce nombre est nul. On se donne un polynôme
de degré 
(
)
 |
(145) |
On construit un polynôme dont les coefficients sont ceux de
pris en sens inverse
 |
(146) |
ou encore
 |
(147) |
On construit ensuite un polynôme de degré 
et dont le
coefficient du terme de plus haut degré vaut 1:
 |
(148) |
en effectuant une combinaison linéaire des polynômes et 
.
On pose
 |
(149) |
et on calcule le polynôme de degré tel que le coefficient de son terme de plus haut degré 
soit égal à
un :
 |
(150) |
(le facteur 
traduit la réduction de degré.)
On réitère cette opération jusqu'à ce que le degré du polynôme 
soit nul. On obtient ainsi une séquence
.
Alors le polynôme a toutes ses racines strictement inférieures
à un en module si et seulement si tous les coefficients
sont compris entre 
et
. Si un des coefficients 
a un
module égal à un, a au moins une racine à l'extérieur du cercle
de rayon un, le filtre récursif 
est un filtre instable.
[ Table des matières ]