Détermination de la stabilité à partir du critère de Nyquist

Un système continu en boucle fermée à retour unitaire est asymptotiquement stable à la condition nécessaire et suffisante que son lieu de transfert en boucle ouverte parcouru de w = - ¥ à w = + ¥ entoure le point critique dans le sens trigonométrique un nombre de fois égal au nombre des pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte.

C'est une conséquence à peu près immédiate du théorème des résidus.

Démonstration du critère

a) Lemme fondamental

• Soit F(p) une fonction de la variable complexe p : c'est un nombre complexe dont le module et l'argument sont fonction de p. Si le point d'affixe p décrit une courbe fermée (C) dans le plan complexe, le point d'affixe F(p) décrit un lieu (L) de forme plus ou moins compliquée, et les lieux (C) et (L) se correspondent point par point.
   

   

  

  Cela étant, on démontre que le nombre de fois que le lieu( L) entoure l'origine est lié au nombre de pôles et de zéros de F(p) qui sont situés à l'intérieur de la courbe fermée (C).

  Quand le point p décrit complètement la courbe (C) dans le sens des aiguilles d'une montre, la variation totale de la phase de F(p) comptée positivement dans le sens trigonométrique est égale à

  

  P et Z étant les nombres respectifs de pôles et de zéros (comptés avec leur ordre de multiplicité) de la fonction F(p) situés à l'intérieur de la courbe (C).
  En d'autres termes, le nombre de tours N qu'effectue dans le sens trigonométrique le lieu de F(p) autour de l'origine est donné par
  N= P - Z

b) Application à F(p)=1+H(p) et au contour de Nyquist

• Soit F(p) la fonction suivante : F(p)= 1+H(p). La courbe fermée (C) est constituée de la manière suivante et appelée contour de Nyquist :
  1. une parallèle à l'axe des quantités imaginaires située infiniment près à droite;
  2. une demi-circonférence, de rayon infiniment grand située dans le demi-plan de droite;
  

  Infiniment veut dire que ce contour (C) comprend à son intérieur tout pôle ou zéro de 1+H(p) à partie réelle strictement positive.
  

• L'image du point origine (p=0) mérite un peu d'attention.
  Lorsque H(p) ne contient pas de pôles à l'origine, le contour (C) passe par l'origine et H(p)= K, gain statique du système.
  Si H(p) contient des termes en K/p^n_I, c’est à dire n_I intégrateurs, le contour doit entourer le point p=0 par un demi-cercle de rayon infiniment petit e. Le domaine de variation de p sur ce demi-cercle est e e^jq, qÎ [-p /2,+p /2] et l’on a :
  
  Le module de H(p) ® ¥ et l’argument varie de +n_Ip /2 à - n_I p/2 dans le sens anti-trigonométrique si K > 0 (et trigonométrique si K < 0).

• Lorsque M décrit le contour C dans le sens des aiguilles d'une montre, le point d'affixe 1+H(p) décrit dans le sens des fréquences croissantes le lieu de transfert 1+H(jw) complété par son symétrique 1+H(-jw) et éventuellement par un nombre de demi-cercles de rayon infiniment grand égal au nombre d'intégrateurs.
  Le théorème précédent donne alors, si l'on appelle:

  • Z = nombre des zéros de 1+H(p) à partie réelle strictement positive,
  • P = nombre des pôles de 1+H(p) à partie réelle strictement positive,

  chacun étant compté avec son ordre de multiplicité, la variation de phase de 1+H(p) lorsque w croît de - ¥ à + ¥. Elle a pour valeur :

  

c) Expression équivalente

• Les fonctions H(p) et 1+H(p) ont les mêmes pôles. Si l'on appelle point critique le point d'affixe (-1 ; j0) l'énoncé ci dessus est alors équivalent au suivant :
  Lorsque, dans le plan complexe p, l'image de p décrit une fois le contour de Nyquist dans le sens des aiguilles d'une montre, l'image de H(p) tourne dans le sens trigonométrique autour du point critique d'un nombre de tours N égal à

  N= P - Z

  où Z est le nombre de zéros de 1+H(p) à partie réelle strictement positive et P est le nombre de pôles de H(p) à partie réelle strictement positive.
  Le lieu décrit par l'image de H(p) lorsque p décrit le contour de Nyquist est le lieu de Nyquist complet de H(p) : c'est le lieu du point d'affixe H(jw) lorsque w varie de - ¥ à + ¥.

Enoncé du critère de Nyquist

Etant donné un système continu en boucle fermée à retour unitaire défini par sa fonction de transfert en boucle ouverte H(p), la relation

N = P - Z
donne le nombre Z des zéros instables de 1+H(p) en fonction:

a) du nombre P des pôles instables de H(p);
b) du nombre N de tours que fait autour du point critique le lieu complet de Nyquist ( lieu H(jw) parcouru de - ¥ à + ¥), compté avec un signe + si ce parcours se fait dans le sens trigonométrique et compté avec un signe - dans le cas contraire.
En particulier, le système bouclé à retour unitaire est asymptotiquement stable à la condition que Z = 0
Cette condition équivaut à N = P .

Un système continu en boucle fermée à retour unitaire est asymptotiquement stable à la condition nécessaire et suffisante que son lieu de transfert en boucle ouverte parcouru de w = - ¥ à w = + ¥ entoure le point critique dans le sens trigonométrique un nombre de fois égal au nombre des pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte.

Pour les systèmes qui n'ont ni pôles ni zéros à partie réelle positive en boucle ouverte, le critère de Nyquist s'applique d'une façon simplifiée: voir le critère du revers.

Exemples d'utilisation

Exemple n° 1

H(p)=K/p, K > 0

N= P - Z = 0 P = 0 => Z = 0

Exemple n° 2

Soit H(p) la fonction de transfert en boucle ouverte:

avec K>0, T₁ et T₂ >0. Comme la fonction H(p) n'a pas de pôles instables, P=0, et que le nombre de tours N est nul, Z=0, le système en boucle fermée est stable pour toutes les valeurs de K, T₁ et T₂ positives.

Exemple n° 3

Soit H(p) la fonction de transfert en boucle ouverte:

avec K>0 et T>0

Elle a un pôle instable en boucle ouverte, p=1/T, donc P=1. H(p) entoure le point critique une fois dans le sens antitrigonométrique, donc N=-1, et :

Z= P-N = 2.

1+H(p) a donc deux racines à partie réelle positives, c'est à dire que le système en boucle fermée a deux pôles instables.

Exemple n° 4

Soit H(p) la fonction de transfert en boucle ouverte:

avec K>0.6

P=1 et N=1, donc Z=0 et le système est stable.